Kuidas nad Roomas tavalisi murde kasutasid. Murrud: murdude ajalugu. Tavaliste murdude ilmumise ajalugu. II. Harilike murdude rakendamine

Slaid 1

Fraktsioonid Babülonis, Egiptuses, Roomas. Avamine kümnendkohad ESITLUS KASUTAMISEKS VISUAALSE ABINA KAVAVÄLISES TEGEVUSES
Markelova G.V., MBOU keskkooli Gremjatšinski filiaali matemaatikaõpetaja. Võtmed

Slaid 2

Slaid 3

Murdude päritolu kohta
Vajadus murdarvude järele tekkis praktilise inimtegevuse tulemusena. Üksuse aktsiate leidmise vajadus ilmnes meie esivanemate seas pärast jahti saaki jagades. Murdarvude ilmumise teiseks oluliseks põhjuseks tuleks pidada suuruste mõõtmist valitud mõõtühiku abil. Nii tekkisid murded.

Slaid 4

Vajadus täpsemate mõõtmiste järele tõi kaasa selle, et esialgseid mõõtühikuid hakati jagama 2, 3 või enamaks osaks. Killustamise tulemusena saadud väiksemale mõõtühikule anti individuaalne nimi ja selle väiksema ühikuga mõõdeti koguseid. Selle vajaliku tööga seoses hakati kasutama väljendeid: pool, kolmas, kaks ja pool sammu. Kust võis järeldada, et murdarvud tekkisid suuruste mõõtmise tulemusena. Rahvad läbisid palju murdude kirjutamise variante, kuni jõudsid tänapäevase tähistusviisini.

Slaid 5

Murdarvude arengu ajaloos kohtame murde kolme tüüpi:
1) murrud või ühikmurrud, milles lugeja on üks, kuid nimetaja võib olla mis tahes täisarv; 2) süstemaatilised murrud, milles lugejateks võivad olla suvalised arvud, nimetajateks aga ainult teatud tüüpi arvud, näiteks kümne või kuuekümne astmed;
3) üldmurrud, milles lugejateks ja nimetajateks võivad olla suvalised arvud. Nende kolme erinevat tüüpi fraktsioonide leiutamine valmistas inimkonnale erineva raskusastmega erinevad tüübid murded ilmusid erinevatel ajastutel.

Slaid 6

Murrud Babülonis
Babüloonlased kasutasid ainult kahte numbrit. Vertikaalne joon tähendas ühte ühikut ja kahe lamava joone nurk kümmet. Nad tegid need read kiiludena, sest babüloonlased kirjutasid terava pulgaga niisketele savitahvlitele, mis seejärel kuivatati ja põletati.

Slaid 7

Murrud Vana-Egiptuses
Vana-Egiptuses saavutas arhitektuur kõrge arengutaseme. Grandioossete püramiidide ja templite ehitamiseks, kujundite pikkuste, pindalade ja mahtude arvutamiseks oli vaja tunda aritmeetikat. Papüüruste dešifreeritud teabe põhjal said teadlased teada, et egiptlastel oli 4000 aastat tagasi kümnendarvusüsteem (kuid mitte positsiooniline) ja nad suutsid lahendada palju ehituse, kaubanduse ja sõjaliste küsimustega seotud probleeme.

Slaid 8

Seksagesimaalsed murded
Vanas Babülonis eelistati konstantset nimetajat 60. Kreeka ja Araabia matemaatikud ja astronoomid kasutasid Babülonist päritud seksagesimaalseid murde. Teadlased selgitavad erineval viisil kuuekümnendarvu süsteemi ilmumist babüloonlaste seas. Tõenäoliselt võeti siin arvesse baasi 60, mis on 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60 kordne, mis lihtsustab oluliselt kõiki arvutusi. Selles suhtes võib seksagesimaalseid murde võrrelda meie kümnendmurdudega. Sõnade "kuuekümnendikud", "kolm tuhat kuus sajandikku" asemel öeldi lühidalt: "esimesed väikesed murrud", "teised väikesed murrud". Siit pärinevad meie sõnad "minuti" (ladina keeles "väiksem") ja "teine" (ladina keeles "teine"). Nii et babüloonia viis murdude märkimiseks on säilitanud oma tähenduse tänapäevani.

Slaid 9

"Egiptuse fraktsioonid"
Vana-Egiptuses olid mõnedel murdudel oma erilised nimed – nimelt 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 ja 1/8, mis praktikas sageli esinevad. Lisaks teadsid egiptlased, kuidas opereerida 1/n tüüpi nn alikvootfraktsioonidega (ladina alikvoot - mitu) - seetõttu nimetatakse neid mõnikord ka "egiptlasteks"; neil murdudel oli oma kirjapilt: piklik horisontaalne ovaal ja selle all nimetaja tähistus. Ülejäänud murdosad kirjutasid nad aktsiate summana. Murd 7/8 kirjutati murdudena: ½+1/4+1/8.

Slaid 10

Murrud sisse Vana-Rooma
Huvitav murdude süsteem oli Vana-Roomas. See põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida kutsuti perse. Ässa kaheteistkümnendat osa nimetati untsiks. Ja teed, aega ja muid suurusi võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võib roomlane öelda, et ta kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Sel juhul ei olnud muidugi tegemist tee või raamatu kaalumisega. See tähendas, et 7/12 teekonnast oli läbitud või 5/12 raamatust loetud. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused.
1 troy unts kulda – väärismetallide kaalu mõõt

Slaid 11

Kümnendkohtade avastamine
Inimkond on mitu aastatuhandet kasutanud murdarvu, kuid nad tulid ideele kirjutada need mugavates kümnendkohtades palju hiljem. Tänapäeval kasutame kümnendkohti loomulikult ja vabalt. Lääne-Euroopas 16. saj. Koos laialt levinud täisarvude esitamise kümnendsüsteemiga kasutati arvutustes kõikjal kuuekümnendmurde, mis pärinevad babüloonlaste iidsest traditsioonist.

Slaid 12

Hollandi matemaatiku Simon Stevini helge mõistus võttis nii täis- kui ka murdarvude salvestamise ühtsesse süsteemi.

Slaid 13

Kümnendkohtade kasutamine
17. sajandi algusest algas kümnendmurdude intensiivne tungimine teadusesse ja praktikasse. Inglismaal võeti täpp kasutusele märgina, mis eraldab täisarvu osa murdosast. Koma, nagu ka ajavahemik, pakkus 1617. aastal eraldusmärgina matemaatik Napier. palju sagedamini kui tavalised murrud.
Tööstuse ja kaubanduse, teaduse ja tehnika areng nõudis järjest tülikamaid arvutusi, mida oli kümnendmurdude abil lihtsam teostada. Kümnendmurrud hakati laialdaselt kasutama 19. sajandil pärast tihedalt seotud kaalude ja mõõtude meetrilise süsteemi kasutuselevõttu. Näiteks meie riigis põllumajanduses ja tööstuses kümnendmurrud ja nende privaatne vaade– protsendid – kasutatakse palju sagedamini kui tavalisi murde.

Slaid 14

Kümnendkohtade kasutamine
17. sajandi algusest algas kümnendmurdude intensiivne tungimine teadusesse ja praktikasse. Inglismaal võeti täpp kasutusele märgina, mis eraldab täisarvu osa murdosast. Koma, nagu ka ajavahemik, pakkus 1617. aastal eraldusmärgina matemaatik Napier. Tööstuse ja kaubanduse, teaduse ja tehnika areng nõudis järjest tülikamaid arvutusi, mida oli kümnendmurdude abil lihtsam teostada. Kümnendmurrud hakati laialdaselt kasutama 19. sajandil pärast tihedalt seotud kaalude ja mõõtude meetrilise süsteemi kasutuselevõttu. Näiteks meie riigis, põllumajanduses ja tööstuses, kasutatakse kümnendmurde ja nende erikuju - protsenti - palju sagedamini kui tavalisi murde.

Slaid 15

Allikate loetelu
M.Ya.Vygodsky "Aritmeetika ja algebra iidses maailmas". G.I. Glazer "Matemaatika ajalugu koolis". I.Ya. Depman "Aritmeetika ajalugu". Vilenkin N.Ya. "Murdude ajaloost" Friedman L.M. "Me õpime matemaatikat." Fraktsioonid Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendmurdude avastamine... prezentacii.com›Ajalugu›Kümnendmurdude avastamine...matemaatika "Murrud Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendmurdude avastamine... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Murrud Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendmurdude avastamine"...powerpt.ru›…drobi-v…rime…desyatichnyh-drobey.html Egiptus, Vana-Rooma, Babülon. Kümnendmurdude avastamine."... uchportal.ru›Metoodilised arengud›Kümnendmurdude avastamine. Matemaatika ajalugu: ...Rooma, Babülon. Kümnendmurdude avastamine... rusedu.ru›detail_23107.html 9Esitlus: .. .Vana-Rooma, Babülon. Kümnendmurdude avastamine... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Murrud Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendmurdude avastamine... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej …

1 slaid

2 slaidi

* * http://aida.ucoz.ru Horatius raamatust “Luuleteadus” “Albinuse poeg! Ütle mulle: kui võtame viis untsi ja lahutame ühe, mis jääb alles? - "Ässa kolmas osa." "Imeline! Noh, te ei raiska oma vara! Ja kui lisada eelmisele viiele üks, siis kui suur on kokku?” - "Pool." (M. Dmitrijevi tõlge.) http://aida.ucoz.ru

3 slaidi

* http://aida.ucoz.ru * Noorel roomal oli õigus! Selle ülesande lahendamisel saime ka: 5/12-1/12=1/3; 5/12+1/12=1/2. http://aida.ucoz.ru

4 slaidi

* http://aida.ucoz.ru “Pedikalt” Sünonüümid: täpne, peen, põhjalik, korralik, kohusetundlik, ehted, täpne, pedantne, filigraanne, unustamatu. Ja see kummaline sõna "skrupulous" pärineb 1/288 assa roomakeelsest nimest - "scrupulus". http://aida.ucoz.ru

5 slaidi

* http://aida.ucoz.ru * Kasutusel olid ka järgmised nimed: "semis" - pool ässa, "sextance" - kuuendik sellest, "semiounce" - pool untsi, see tähendab, 1/24 ässast jne .d. Kokku kasutati murdude jaoks 18 erinevat nimetust. Murdudega töötamiseks tuli meelde jätta liitmistabel ja korrutustabel. Seetõttu teadsid Rooma kaupmehed kindlalt, et trieenide (1/3 assa) ja sekstanide lisamisel on tulemuseks poolik ning imp (2/3 assa) korrutamisel seskuntsiga (2/3 untsi, see tähendab 1/8). assa), saadakse unts. Töö hõlbustamiseks koostati spetsiaalsed tabelid, millest osa on meieni jõudnud. http://aida.ucoz.ru

6 slaidi

Pärast võitu otsustas Gaius Julius Caesar oma avangardi premeerida ja eraldas neile kõigepealt 24 untsi ja seejärel 36 untsi. Mitu ässa sai salk? Lahendus: 24 untsi on 2 eesli ja 36 untsi on 3 ässa, 3 +2 = 5 eesli, mille meeskond saab. Vastus: 5 ässa. Miša Ivanovi probleem

7 slaidi

Angelina Glibina ülesanne Vana-Roomas austati sõdalasi, kes näitasid üles lahingus jõudu ja julgust. Mitu ässa kulus 6 sõdalase autasustamiseks, kui igaühele anti 2 ässa ja 6 untsi? Lahendus: 6 korrutatuna 2 ässaga, saame 12 ässa - see anti ainult 6 sõdalase jaoks, siis korrutame 6 6-ga, saame 36 untsi ja ühes ässas on 12 untsi, saame 3 eesli, lisame 3 kuni 12, saame 15 eeslit . Vastus: 15 ässa.

1.4. Murrud Vana-Roomas.

Roomlased kasutasid peamiselt ainult betoonfraktsioone, mis asendasid abstraktsed osad kasutatud mõõtude alajaotistega. See murdude süsteem põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida nimetati perseiks. Nii tekkisid rooma kaksteistkümnendmurrud, s.o. murrud, mille nimetaja oli alati kaksteist. Ässa kaheteistkümnendat osa nimetati untsiks. 1/12 asemel ütlesid roomlased “üks unts”, 5/12 – “viis untsi” jne. Kolm untsi nimetati veerandiks, neli untsi kolmandikuks, kuus untsi pooleks.

Ja teed, aega ja muid suurusi võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võib roomlane öelda, et ta kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Sel juhul ei olnud muidugi tegemist tee või raamatu kaalumisega. See tähendas, et 7/12 teekonnast oli läbitud või 5/12 raamatust loetud. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused. Kokku kasutati murdude jaoks 18 erinevat nimetust. Näiteks olid kasutusel järgmised nimed:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"semis" - pool assa,

"sekstants" on selle kuues osa,

“poolunts” - pool untsi, s.o. 1/24 eeslit jne.

Selliste murdudega töötamiseks oli vaja meeles pidada nende murdude liitmistabelit ja korrutustabelit. Seetõttu teadsid Rooma kaupmehed kindlalt, et trieenide (1/3 assa) ja sekstanide lisamisel on tulemuseks semis ning imp (2/3 assa) korrutamisel seskuntsiga (2/3 untsi, st 1/8 assa), tulemuseks on unts . Töö hõlbustamiseks koostati spetsiaalsed tabelid, millest osa on meieni jõudnud.

Untsi tähistati joonega - pool assa (6 untsi) - tähega S (esimene ladinakeelses sõnas Semis - pool). Need kaks märki salvestasid mis tahes kaksteistkümnendmurru, millest igaühel oli oma nimi. Näiteks 7\12 kirjutati nii: S-.

Juba esimesel sajandil eKr ütles silmapaistev Rooma kõnemees ja kirjanik Cicero: "Ilma murdude tundmiseta ei saa kedagi tunnistada aritmeetikat tundvaks!"

Tüüpiline on järgmine väljavõte 1. sajandi eKr kuulsa Rooma poeedi Horatiuse teosest, mis räägib õpetaja ja õpilase vestlusest ühes tolle ajastu Rooma koolkonnas:

Õpetaja: Las Albini poeg ütleb mulle, kui palju jääb alles, kui viielt untsilt üks unts ära võetakse!

Õpilane: Üks kolmandik.

Õpetaja: Täpselt nii, sa tead hästi murde ja suudad oma vara päästa.

1.5. Murrud Vana-Kreekas.

Vana-Kreekas eraldati aritmeetika – arvude üldiste omaduste uurimine – logistikast – arvutamiskunstist. Kreeklased uskusid, et murde saab kasutada ainult logistikas. Kreeklased tegid vabalt kõiki aritmeetilisi tehteid murdarvudega, kuid ei tunnistanud neid arvudena. Kreeka matemaatika töödes murde ei leitud. Kreeka teadlased uskusid, et matemaatika peaks tegelema ainult täisarvudega. Nad jätsid murdosade kallal nokitsemise kaupmeestele, käsitöölistele, aga ka astronoomidele, maamõõtjatele, mehaanikutele ja teistele "mustanahalistele". "Kui soovite ühikut jagada, naeruvääristavad matemaatikud teid ega luba teil seda teha," kirjutas Ateena Akadeemia asutaja Platon.

Kuid mitte kõik Vana-Kreeka matemaatikud ei nõustunud Platoniga. Seega kasutab Archimedes oma traktaadis “Ringjoone mõõtmisest” murde. Aleksandria heron käsitles ka fraktsioone vabalt. Nagu egiptlased, jagab ta murdosa põhimurdude summaks. 12\13 asemel kirjutab ta 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12 asemel 1\3 + 1\12 jne. Isegi Pythagoras, kes suhtus naturaalarvudesse püha värinaga, ühendas muusikalise skaala teooriat luues peamised muusikalised intervallid murdosadega. Tõsi, Pythagoras ja tema õpilased ei kasutanud murdude mõistet. Nad lubasid endal rääkida ainult täisarvude suhtarvudest.

Kuna kreeklased töötasid murdudega vaid juhuslikult, kasutasid nad erinevaid tähistusi. Heron ja Diophantus kirjutasid murde tähestikulises vormis, kusjuures lugeja paigutati nimetaja alla. Mõnede murdude jaoks kasutati eraldi tähistusi, näiteks 1\2 - L′′, kuid üldiselt raskendas nende tähestikuline numeratsioon murdude tähistamist.

Ühikumurdude puhul kasutati spetsiaalset tähistust: murru nimetajale kaasnes kriips paremale, lugejat ei kirjutatud. Näiteks tähestikulises süsteemis tähendas see 32 ja " - murd 1\32. On selliseid tavaliste murdude salvestusi, kus ühele reale kirjutatakse kõrvuti algarvuga lugeja ja nimetaja, mis on võetud kaks korda kahe algarvuga. Nii pani näiteks Aleksandria Heron üles murdosa 3 \4:
.

Murdarvude kreeka tähise puuduseks on asjaolu, et kreeklased mõistsid sõna "arv" ühikute kogumina, nii et seda, mida me praegu peame üheks ratsionaalarvuks - murduks - mõistsid kreeklased kui suhet kaks täisarvu. See seletab, miks murde leidus kreeka aritmeetikas harva. Eelistati kas ühikulugejaga murde või seksagesimaalseid murde. Valdkond, kus praktilistel arvutustel oli kõige suurem vajadus täpsete murdude järele, oli astronoomia ja siin oli Babüloonia traditsioon nii tugev, et seda kasutasid kõik rahvad, sealhulgas Kreeka.

1.6. Murrud vene keeles

Esimene vene matemaatik, meile nimepidi tuntud Novgorodi kloostri munk Kirik, tegeles kronoloogia ja kalendri küsimustega. Tema käsitsi kirjutatud raamatus “Õpetades teda ütlema inimesele kõigi aastate numbreid” (1136), s.o. “Juhend, kuidas inimene saab teada aastate numeratsiooni” rakendab tunni jagamist viiendikuteks, kahekümneviiendikuteks jne. murdosad, mida ta nimetas murdtundideks või vestlusteks. Ta jõuab seitsmenda murdtunnini, millest päevas või öös on 937 500, ja ütleb, et seitsmendast murdtunnist ei tule midagi välja.

Esimestes matemaatikaõpikutes (7. sajand) nimetati murde murdudeks, hiljem “katkendarvudeks”. Vene keeles ilmus sõna murd 8. sajandil, see pärineb tegusõnast “droblit” - murda, tükkideks murda. Numbri kirjutamisel kasutati horisontaalset joont.

Vanades juhendites on vene keeles järgmised murdude nimed:

1/2 - pool, pool

1/3 – kolmandik

1/4 – ühtlane

1/6 – pool kolmandikku

1/8 - pool

1/12 – pool kolmandikku

1/16 - pool pool

1/24 – pool ja pool kolmandikku (väike kolmandik)

1/32 – pool pool pool (väike pool)

1/5 - püatina

1/7 - nädal

1/10 on kümnis.

Venemaal kasutati veerandi või väiksemat maamõõtu -

poolveerand, mida kutsuti oktinaks. Need olid konkreetsed fraktsioonid, maakera pindala mõõtmise ühikud, kuid oktina ei saanud mõõta aega ega kiirust jne. Palju hiljem hakkas oktina tähendama abstraktset murdosa 1/8, mis võib väljendada mis tahes väärtust.

Murdude kasutamisest Venemaal 17. sajandil saab lugeda V. Bellustini raamatust “Kuidas inimesed järk-järgult jõudsid pärisaritmeetikani”: “17. sajandi käsikirjas. “Kõigi murdude dekreedi numbriline artikkel” algab otse murdude kirjaliku tähistusega ning lugeja ja nimetaja märkimisega. Murdude hääldamisel on huvitavad järgmised tunnused: neljandat osa nimetati veerandiks, murrud aga nimetajaga 5–11 väljendati sõnadega, mis lõppesid “ina”, nii et 1/7 on nädal, 1/5 on viis, 1/10 on kümnis; aktsiad, mille nimetaja oli suurem kui 10, hääldati sõnadega “partiid”, näiteks 5/13 - viis kolmeteistkümnendikku partiist. Murdude numeratsioon laenati otse lääne allikatest... Lugejat nimetati ülemiseks numbriks, nimetajat alumiseks.“

Alates 16. sajandist oli plank-aabits Venemaal väga populaarne – arvutuste tegemiseks kasutati seadet, mis oli Vene aabitsa prototüüp. See võimaldas kiiresti ja lihtsalt sooritada keerulisi aritmeetilisi tehteid. Plangukonto oli väga levinud kauplejate, Moskva ordude töötajate, “mõõtjate” - maamõõtjate, kloostrimajandusteadlaste jne seas.

Algsel kujul oli tahvli aabits spetsiaalselt kohandatud arenenud aritmeetika vajadustele. See on 15.–17. sajandi Venemaal kehtiv maksusüsteem, milles koos täisarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamisega tuli teha samad toimingud murdosadega, kuna tavapärane maksuühik - ader - jagati osadeks.

Plangukonto koosnes kahest kokkupandavast kastist. Iga kast jaotati kaheks (hiljem ainult põhja); teine kast oli vajalik kassakonto iseloomu tõttu. Kasti sees olid venitatud nööride või juhtmete külge nööritud luud. Kümnendarvude süsteemi kohaselt oli täisarvude ridadel 9 või 10 täringut; murdudega tehteid tehti mittetäielikel ridadel: kolme täringu rida oli kolm kolmandikku, nelja täringu rida neli veerandit (neli). Allpool olid read, milles oli üks täring: iga täring esindas poolt murdosast, mille all ta asus (näiteks kolme täringu rea all asuv täring oli pool kolmandikust, selle all olev täring pool poolest üks kolmandik jne). Kahe identse “kohesiivse” murru liitmine annab lähima kõrgema järgu murdosa, näiteks 1/12+1/12=1/6 jne. Abakuses vastab kahe sellise murru liitmine lähima kõrgema doominoni liikumisele.

Murrud summeeriti ilma taandamata ühise nimetajani, näiteks “veerand ja pool kolmandikku ja pool” (1/4 + 1/6 + 1/16). Mõnikord tehti tehteid murdosadega nagu tervikuga, võrdsustades terviku (ader) teatud rahasummaga. Näiteks kui sokha = 48 rahaühikut, on ülaltoodud murd 12 + 8 + 3 = 23 rahaühikut.

Arenenud aritmeetikas tuli tegeleda väiksemate murdudega. Mõnes käsikirjas on jooniseid ja kirjeldusi „loendustahvlitest”, mis on sarnased äsja käsitletutele, kuid millel on palju ühe luuga ridu, nii et neile saab laduda murdosasid kuni 1/128 ja 1/96. Pole kahtlust, et valmistati ka vastavaid instrumente. Kalkulaatorite mugavuse huvides anti palju “Väikeste luude koodeksi” reegleid, s.o. tavalistes arvutustes tavaliselt kasutatavate fraktsioonide lisamine, näiteks: kolm nelja adra ja pool adra ja pool adra jne. kuni pool-pool-pool-pool-pool ader on ader ilma pool-pool-pool-pool-pool, s.o. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 jne.

Kuid murdudest võeti arvesse ainult 1/2 ja 1/3, samuti need, mis saadi neist 2-ga järjestikuse jagamise teel. “Pandeloendamine” ei sobinud tehteteks teiste seeriate murdosadega. Nendega opereerides tuli viidata spetsiaalsetele tabelitele, milles olid toodud erinevate murdude kombinatsioonide tulemused.

IN 1703 Ilmub esimene vene trükitud matemaatikaõpik “Aritmeetika”. Autor Magnitski Leonty Fillipovich. Selle raamatu 2. osas „Murdude või murdudega arvude kohta” on üksikasjalikult kirjeldatud murdude uurimist.

Magnitskil on peaaegu kaasaegne iseloom. Magnitski peatub aktsiate arvutamisel põhjalikumalt kui tänapäevased õpikud. Magnitski peab murde nimelisteks arvudeks (mitte ainult 1/2, vaid 1/2 rubla, pood jne) ja uurib ülesannete lahendamise protsessis tehteid murdudega. Et on katkine arv, vastab Magnitski: „Katkine arv pole midagi muud, ainult osa asjast, mis on arvuna deklareeritud, see tähendab, et pool rubla on pool rubla ja see on kirjutatud rublana või rubla või rubla või kaks viiendikku ja igasuguseid asju, mis on kas numbrina deklareeritud osa, see tähendab katkine arv." Magnitski annab kõigi õigete murdude nimed nimetajatega 2 kuni 10. Näiteks murded nimetajaga 6: üks kuusteist, kaks kuusteist, kolm kuusteist, neli kuusteist, viis kuusteist.

Magnitsky kasutab nimelugejat, nimetajat, arvestab valede murdudega, seganumbreid, lisaks kõikidele toimingutele isoleerib kogu vale murru osa.

Murdude uurimine on alati jäänud aritmeetika kõige keerulisemaks osaks, kuid samal ajal mõistsid inimesed igal varasemal ajastul murdude uurimise tähtsust ning õpetajad püüdsid oma õpilasi luules ja proosas julgustada. L. Magnitski kirjutas:

Aga aritmeetikat pole

Izho on kogu kostja,

Ja nendes aktsiates pole midagi,

On võimalik vastata.

Oh, palun, palun

Oskab olla osades.

1.7. Murrud Vana-Hiinas

Hiinas kehtestati 2. sajandiks peaaegu kõik aritmeetilised tehted lihtmurdudega. eKr e.; neid kirjeldatakse Vana-Hiina põhilises matemaatiliste teadmiste kogumikus – “Matemaatika üheksas raamatus”, mille viimane väljaanne kuulub Zhang Cangile. Arvutades reegli järgi, mis sarnaneb Eukleidese algoritmiga (lugeja ja nimetaja suurim ühine jagaja), vähendasid Hiina matemaatikud murde. Murdude korrutamist peeti ristkülikukujulise maatüki pindala leidmiseks, mille pikkus ja laius on väljendatud murdudena. Jagamist kaaluti kasutades jagamise ideed, samas kui Hiina matemaatikuid ei häbenenud asjaolu, et jagamises osalejate arv võis olla murdosa, näiteks 3⅓ inimest.

Algselt kasutasid hiinlased lihtsaid murde, mida nimetati vannihieroglüüfi abil:

keeld (“pool”) –1\2;

shao keeld ("väike pool") –1\3;

tai banh ("suur pool") –2\3.

Järgmiseks etapiks kujunes murrudest üldise arusaamise kujundamine ja nendega tegutsemise reeglite kujundamine. Kui Vana-Egiptuses kasutati ainult alikvootseid fraktsioone, siis Hiinas peeti neid fraktsioonideks-soodeks kui ühte murdude sorti, mitte ainuvõimalikku. Hiina matemaatika on segaarvudega tegelenud iidsetest aegadest peale. Varaseim matemaatiline tekst, Zhou Bi Xuan Jing (Zhou Gnomoni arvutamise kaanon / Gnomoni matemaatiline traktaat), sisaldab arvutusi, mis tõstavad selliseid numbreid nagu 247 933 / 1460 astmeteni.

"Jiu Zhang Xuan Shu" ("Üheksa jaotise loendamise reeglid") käsitletakse murdosa terviku osana, mida väljendatakse selle murdude n-arvus-fen - m (n

“Jiu Zhang Xuan Shu” esimeses osas, mis on üldiselt pühendatud väljade mõõtmisele, on eraldi välja toodud murdude vähendamise, liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise reeglid, samuti nende võrdlemine ja “võrdsustamine”. selline kolme murru võrdlus, milles on vaja leida nende aritmeetiline keskmine (lihtsamat reeglit kahe arvu aritmeetilise keskmise arvutamiseks raamatus ei ole toodud).

Näiteks selleks, et saada näidatud essees olevate murdude summa, pakutakse järgmisi juhiseid: „Korrutage (hu cheng) lugejad vaheldumisi nimetajatega. Lisa – see on dividend (shi). Korrutage nimetajad - see on jagaja (fa). Ühendage dividend ja jagaja üheks. Kui jääb üle, ühendage see jagajaga. See käsk tähendab, et kui liita mitu murru, siis tuleb iga murru lugeja korrutada kõigi teiste murdude nimetajatega. Dividendi “ühendamisel” (sellise korrutamise tulemuste summana) jagajaga (kõikide nimetajate korrutis) saadakse murd, mida tuleks vajadusel vähendada ja millest kogu osa jagamisega eraldada. , siis on "ülejääk" lugeja ja vähendatud jagaja on nimetaja. Murdude hulga summa on sellise jagamise tulemus, mis koosneb täisarvust pluss murdosast. Väide “nimetajate korrutamine” tähendab sisuliselt murdude taandamist nende suurimale ühisnimetajale.

Jiu Zhang Xuan Shu murdude vähendamise reegel sisaldab algoritmi lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja leidmiseks, mis langeb kokku niinimetatud eukleidilise algoritmiga, mis on loodud kahe arvu suurima ühisjagaja määramiseks. Aga kui viimane, nagu teada, on Principias antud geomeetrilises sõnastuses, siis Hiina algoritm esitatakse puhtalt aritmeetiliselt. Hiina algoritm suurima ühise jagaja leidmiseks, mida nimetatakse deng shu-ks (“sama arv”), on konstrueeritud väiksema arvu järjestikuse lahutamisena suuremast. Selle den shu arvu võrra tuleb murdosa vähendada. Näiteks tehakse ettepanek vähendada murdosa 49\91. Viime läbi järjestikuse lahutamise: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Vähendage murdosa selle arvu võrra. Saame: 7\13.

Jiu Zhang Xuan Shu murdude jaotus erineb tänapäeval aktsepteeritavast. Reegel "jing fen" ("jagamise järjekord") ütleb, et enne murdude jagamist tuleb need taandada ühiseks nimetajaks. Seega on murdude jagamise protseduuril tarbetu samm: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Alles 5. sajandil. Zhang Qiu-jian oma teoses “Zhang Qiu-jian suan jing” (“Zhang Qiu-jiani loendamiskaanon”) vabanes sellest, jagades murde tavapärase reegli järgi: a/b: c/d = ad/ cb.

Võib-olla oli Hiina matemaatikute pikaajaline pühendumine keerukale murdude jagamise algoritmile tingitud soovist säilitada selle universaalsus ja loenduslaua kasutamine. Põhimõtteliselt seisneb see murdude jagamise taandamises täisarvude jagamiseks. See algoritm kehtib, kui täisarv jagub segaarvuga. Näiteks 2922 jagamisel 182 5/8-ga korrutati mõlemad arvud esmalt 8-ga, mis võimaldas täisarve veelgi jagada: 23376:1461= 16

1.8. Murrud teistes antiikseisundites ja keskajal.

Hariliku murru kontseptsiooni edasiarendamine saavutati Indias. Selle riigi matemaatikud suutsid kiiresti liikuda ühikmurdudelt üldmurdudele. Esimest korda leidub selliseid murde Apastamba (VII-V sajand eKr) "Nöörireeglites", mis sisaldavad geomeetrilisi konstruktsioone ja mõningate arvutuste tulemusi. Indias kasutati tähistussüsteemi - võib-olla hiina ja võib-olla hiliskreeka päritolu -, kus murdu lugeja kirjutati nimetaja kohale - nagu meil, kuid ilma murdejooneta, kuid kogu murd paigutati ristkülikukujuline raam. Mõnikord kasutati ka “kolmekorruselist” väljendit, kus ühes kaadris oli kolm numbrit; olenevalt kontekstist võib see tähendada vale murdosa (a + b/c) või täisarvu a jagamist murdarvuga b/c.

Näiteks murdosa salvestatud kui

India teadlase Bramagupta (8. sajand) kehtestatud murdosadega töötamise reeglid ei erinenud peaaegu üldse tänapäevastest. Nagu Hiinas, nii ka Indias korrutati ühise nimetajani viimiseks kõigi terminite nimetajaid pikka aega, kuid alates 9. sajandist. juba kasutanud vähimat ühiskordset.

Keskaegsed araablased kasutasid murdude kirjutamiseks kolme süsteemi. Esiteks, india moodi, nimetaja kirjutamine lugeja alla; Murdjoon tekkis 12. sajandi lõpus – 13. sajandi alguses. Teiseks kasutasid ametnikud, maamõõtjad ja kaupmehed egiptuse omaga sarnast alikvootmurdude arvutust, kasutades murde, mille nimetaja ei ületa 10 (ainult selliste murdude jaoks on araabia keeles eriterminid); sageli kasutati ligikaudseid väärtusi; Araabia teadlased töötasid selle arvutuse parandamiseks. Kolmandaks pärisid araabia teadlased Babüloonia-Kreeka seksagesimaalsüsteemi, milles sarnaselt kreeklastega kasutasid nad tähestikulist tähistust, laiendades seda tervetele osadele.

India murdude tähistus ja nendega opereerimise reeglid võeti vastu 9. sajandil. moslemimaades tänu Khorezmi Muhamedile (al-Khorezmi). Islamimaade kaubanduspraktikas olid laialdaselt kasutusel ühikumurrud, teaduses seksagesimaalmurrud ja palju vähemal määral tavamurrud. Al-Karaji (X-XI sajand), al-Khassar (XII sajand), al-Kalasadi (XV sajand) ja teised teadlased esitasid oma töödes reeglid tavaliste murdude esitamiseks ühikmurdude summade ja korrutiste kujul. Teabe murdude kohta edastas Lääne-Euroopasse Itaalia kaupmees ja teadlane Leonardo Fibonacci Pisast (13. sajand). Ta võttis kasutusele sõna murd, hakkas kasutama murrurida (1202) ja andis valemid murdude süstemaatiliseks jaotamiseks põhilisteks. Nimed lugeja ja nimetaja võttis 13. sajandil kasutusele kreeka munk, teadlane ja matemaatik Maximus Planud. Meetodi murdude ühiseks nimetajaks taandamiseks pakkus 1556. aastal välja N. Tartaglia. Kaasaegne tavaliste murdude lisamise skeem pärineb 1629. aastast. A. Girardi juures.

II. Harilike murdude rakendamine

2.1 Alikvoodifraktsioonid

Alikvootfraktsioonide kasutamise probleemid moodustavad suure hulga mittestandardseid probleeme, sealhulgas need, mis on pärit iidsetest aegadest. Alikvootfraktsioone kasutatakse siis, kui peate jagama midagi mitmeks osaks võimalikult väikese sammuga. Vormiga 2/n ja 2/(2n +1) murdude lagunemine kaheks alikvoodiks on süstematiseeritud valemite kujul

Lagundamine kolmeks, neljaks, viieks jne. alikvoodifraktsioone saab valmistada, jagades ühe terminitest kaheks, järgmise fraktsiooni veel kaheks alikvoodifraktsiooniks jne.

Arvu esitamiseks alikvoodi murdude summana peate mõnikord üles näitama erakordset leidlikkust. Oletame, et arvu 2/43 väljendatakse järgmiselt: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Väga ebamugav on teha arvudega aritmeetilisi tehteid, lagundades need ühe murdude summaks. Seetõttu tekkis alikvoodimurdude väiksemate alikvoodimurdude summana lagundamise ülesannete lahendamise protsessis idee süstematiseerida murdude lagundamine valemi kujul. See valem kehtib, kui teil on vaja alikvoodifraktsioon jaotada kaheks alikvoodifraktsiooniks.

Valem näeb välja selline:

1/n=1/(n+1) + 1/n · (n+1)

Näited murdosa laiendamisest:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Seda valemit saab teisendada, et saada järgmine kasulik võrdsus: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Näiteks 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

See tähendab, et alikvoodi murdosa saab esitada kahe alikvoodi murru erinevuse või kahe alikvoodi murru erinevusena, mille nimetajad on järjestikused arvud, mis on võrdsed nende korrutisega.

Näide. Esitage arv 1 erinevate alikvoodi murdude summadena

a) kolm liiget 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) neli terminit

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) viis terminit

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Väikeste fraktsioonide asemel suured

Masinaehitustehastes on üks väga põnev eriala, seda nimetatakse markeriks. Marker märgib toorikule jooned, mida mööda töödeldavat detaili tuleb töödelda, et anda sellele vajalik kuju.

Marker peab lahendama huvitavaid ja kohati keerulisi geomeetrilisi ülesandeid, sooritama aritmeetilisi arvutusi jne.
"Oli vaja kuidagi jaotada 7 ühesugust ristkülikukujulist plaati võrdsetes osades 12 osa vahel. Nad tõid need 7 plaati markeri juurde ja palusid tal võimalusel plaadid märgistada nii, et ühtegi neist ei peaks väga väikesteks osadeks purustama. Niisiis, kõige lihtsam lahendus on – Iga plaadi lõikamine 12 võrdseks osaks ei sobinud, kuna tulemuseks oleks palju väikeseid osi.
Kas neid plaate on võimalik suuremateks osadeks jagada? Marker mõtles, tegi murdarvudega aritmeetilisi arvutusi ja leidis lõpuks kõige ökonoomsema viisi nende plaatide jagamiseks.
Seejärel purustas ta hõlpsalt 5 plaati, et jagada need võrdsetes osades kuue osa vahel, 13 plaati 12 osa jaoks, 13 plaati 36 osa jaoks, 26 plaati 21 jaoks jne.

Selgub, et marker esitas murdarvu 7\12 ühikuliste murdude 1\3 + 1\4 summana. See tähendab, et kui 7 etteantud plaadist lõigatakse igaüks kolmeks võrdseks osaks, siis saame 12 kolmandikku ehk ühe kolmandiku iga osa kohta. Ülejäänud 3 plaati lõikasime 4 võrdseks osaks, saame 12 veerandit, see tähendab iga osa jaoks veerandi. Samamoodi kasutades murdude esitusi ühikuliste murdude summana 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Jaoskonnad rasketes oludes

Tuntud on idamaade tähendamissõna, et isa jättis oma poegadele 17 kaamelit ja käskis neil omavahel jagada: vanim pool, keskmine kolmandik, noorim üheksandik. Kuid 17 ei jagu 2, 3 ega 9-ga. Pojad pöördusid targa poole. Tark tundis murdosasid ja oskas selles keerulises olukorras aidata.

Ta kasutas kavalust. Tark lisas oma kaameli ajutiselt karja, siis oli neid 18. Jaganud selle arvu, nagu testamendis kirjas, võttis tark oma kaameli tagasi. Saladus seisneb selles, et osad, millesse pojad pidid tahte järgi karja jagama, ei anna kokku 1. Tõepoolest, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Selliseid ülesandeid on päris palju. Näiteks probleem venekeelsest õpikust 4 sõbra kohta, kes leidsid rahakoti 8 kreeditarvega: üks ühe, kolm, viis rubla ja ülejäänud kümne rubla eest. Vastastikusel kokkuleppel sooviti kolmandat osa, teine veerandit, kolmas viiendikku, neljas kuuendat. Omal jõul nad seda aga teha ei saanud: üks mööduja aitas, pärast oma rubla lisamist. Selle raskuse lahendamiseks lisas mööduja ühikumurrud 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, rahuldades oma sõprade taotlused ja teenides endale 2 rubla.

III.Huvitavad murded

3.1 Doominomurrud

Doomino on kogu maailmas populaarne lauamäng. Doominomäng koosneb enamasti 28 ristkülikukujulisest klotsist. Doomino on ristkülikukujuline plaat, mille esikülg on joonega jagatud kaheks ruudukujuliseks osaks. Iga osa sisaldab nullist kuue punktini. Kui eemaldate täringud, mis ei sisalda punkte vähemalt ühel poolel (toorikud), võib ülejäänud täringuid lugeda murdudena. Täringud, mille mõlemad pooled sisaldavad sama arvu punkte (kahekordseid), on ühega võrdsed valemurrud. Kui eemaldate need rohkem luid, jääb teile alles 15 luud. Neid saab korraldada erineval viisil ja saada huvitavaid tulemusi.

1. Paigutus 3 rida, millest igaühe murdude summa on 2.

;
;

2. Paigutage kõik 15 klotsi kolmes reas, millest igaühes on 5 paani, kasutades mõnda doominokivi valede murdudena, näiteks 4/3, 6/1, 3/2 jne, nii et iga rea murdude summa oleks võrdus numbriga 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Murdude paigutus ridadesse, mille summaks saab täisarv (kuid erinevates ridades erinev).

3.2 Juba ammusest ajast.

"Ta uuris seda küsimust põhjalikult." See tähendab, et teema on lõpuni uuritud, et vähimatki ebaselgust ei jää. Kummaline sõna “skrupuluslikult” pärineb 1/288 assa roomakeelsest nimetusest – “skrupulus”.

"Murdudeks saamine." See väljend tähendab raskesse olukorda sattumist.

"Ass" on farmakoloogias massi mõõtühik (apteekri nael).

“Unts” on inglise mõõdusüsteemis massiühik, massi mõõtühik farmakoloogias ja keemias.

IV. Järeldus.

Murdude uurimist peeti matemaatika kõige raskemaks osaks kõigil aegadel ja kõigi rahvaste seas. Neid, kes murdsid tundsid, peeti väga lugu. 15. sajandist pärit iidse slaavi käsikirja autor. kirjutab: “See pole imeline, et ... tervikuna, aga kiiduväärt on see, et osade kaupa...”.

Järeldasin, et murdude ajalugu on käänuline tee, millel on palju takistusi ja raskusi. Essee kallal töötades sain teada palju uut ja huvitavat. Lugesin palju raamatuid ja entsüklopeediate rubriike. Tutvusin esimeste murdudega, millega inimesed opereerisid, alikvootmurru mõistega ja sain teada uusi teadlaste nimesid, kes aitasid kaasa murdude õpetuse väljatöötamisele. Ise püüdsin lahendada olümpiaadi- ja meelelahutusülesandeid, valisin iseseisvalt näiteid harilike murdude alikvootmurrudeks lagundamisest ning analüüsisin tekstides toodud näidete ja ülesannete lahendust. Vastus küsimusele, mille esitasin endale enne essee kallal töötamist: tavalised murrud on vajalikud, need on olulised. Esitlust oli huvitav ette valmistada, pidin abi saamiseks pöörduma õpetaja ja klassikaaslaste poole. Samuti puutusin tippimisel esimest korda kokku vajadusega trükkida murde ja murdosa avaldisi. Esitlesin oma kokkuvõtet koolikonverentsil. Ta esines ka klassikaaslaste ees. Nad kuulasid väga tähelepanelikult ja minu arvates olid nad huvitatud.

Usun, et olen täitnud ülesanded, mille seadsin enne abstraktse töö alustamist.

Kirjandus.

1. Borodin A.I. Aritmeetika ajaloost. Peakirjastus "Vishcha School"-K., 1986

2. Glazer G.I.Matemaatika ajalugu koolis: IV-VI klass. Käsiraamat õpetajatele. – M.: Haridus, 1981.

3. Ignatiev E.I. Leidlikkuse kuningriigis. Kirjastuse "Nauka" füüsikalise ja matemaatilise kirjanduse peatoimetus, M., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Matemaatiline leidlikkus. – 10. väljaanne, muudetud. Ja täiendav - M.: Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. Lühiülevaade matemaatika ajaloost. M.: Nauka, 1990.

6.Entsüklopeedia lastele. Köide 11. Matemaatika. Moskva, Avanta+, 1998.

7. /wiki. Materjal Wikipediast – vaba entsüklopeedia.

Lisa 1.

Looduslik skaala

Kõik teavad, et Pythagoras oli teadlane ja eriti kuulsa teoreemi autor. Kuid see, et ta oli ka geniaalne muusik, pole nii laialt teada. Nende annete kombinatsioon võimaldas tal olla esimene, kes aimab loodusliku skaala olemasolu. Ma pidin seda ikkagi tõestama. Pythagoras ehitas oma katsete jaoks poolinstrumendi ja poolseadme - “monokordi”. See oli piklik karp, mille peale oli tõmmatud nöör. Nööri alla, karbi ülemisele kaanele, joonistas Pythagoras skaala, et oleks lihtsam nööri visuaalselt osadeks jagada. Pythagoras tegi monokordiga palju katseid ja kirjeldas lõpuks matemaatiliselt kõlava stringi käitumist. Pythagorase teosed moodustasid aluse teadusele, mida praegu nimetame muusikaakustikaks. Selgub, et muusika jaoks on seitse heli oktavis sama loomulik kui aritmeetikas kümme sõrme kätel. Juba kõige esimese poogna keel, mis pärast lasku võngus, andis valmis selle muusikalise helistiku, mida kasutame peaaegu muutumatuna siiani.

Füüsika seisukohalt on vibunöör ja nöör üks ja seesama. Ja mees tegi nööri, pöörates tähelepanu vibunööri omadustele. Kõlav keel ei vibreeri mitte ainult tervikuna, vaid ka pooleks, tertsiks, veerandiks jne. Lähenegem nüüd sellele nähtusele aritmeetilisest küljest. Pooled vibreerivad kaks korda sagedamini kui terve string, kolmandikud - kolm korda, veerandid - neli korda. Ühesõnaga, mitu korda väiksem on nööri vibreeriv osa, sama palju kordi suurem on selle võnkesagedus. Oletame, et kogu string vibreerib sagedusega 24 hertsi. Lugedes murdude kõikumised kuueteistkümnendikku, saame tabelis näidatud arvude jada. Seda sageduste jada nimetatakse loomulikuks, s.t. loomulik, mastaapne.

2. lisa.

Iidsed probleemid harilike murdude kasutamisega.

Erinevate maade iidsetes käsikirjades ja iidsetes aritmeetikaõpikutes on palju huvitavaid probleeme, mis puudutavad murde. Kõigi nende probleemide lahendamine nõuab märkimisväärset leidlikkust, leidlikkust ja arutlusvõimet.

1. Karjane tuleb 70 pulliga. Temalt küsitakse:

Kui palju sa oma suurest karjast kaasa tood?

Karjane vastab:

Toon kaks kolmandikku kolmandikust veistest. Loendage, mitu pulli on karjas?

Ahmese papüürus (Egiptus, umbes 2000 eKr).

2. Keegi võttis riigikassast 1/13. Sellest, mis üle jäi, võttis teine 1/17. Ta jättis riigikassasse 192. Tahame teada saada, kui palju rahakassas algselt oli

Akmimi papüürus (VI sajand)

3. Reisija! Siia on maetud Diophanthose põrm. Ja numbrid näitavad, et ennäe, kui pikk oli tema eluiga.

Tema kuues osa oli imeline lapsepõlv.

Möödus kaheteistkümnes osa tema elust – siis oli lõug kohevaga kaetud.
Diophantus veetis seitsmendat korda lastetus abielus.

Viis aastat on möödunud; teda õnnistati oma kauni esmasündinud poja sünniga.
Kellele saatus kinkis oma isaga võrreldes vaid poole ilusast ja helgest elust maa peal.

Ja sügavas kurbuses leppis vanamees oma maise osa lõpuga, olles elanud poja kaotamisest neli aastat.

Ütle mulle, mitu aastat elas Diophantus surma?

4. Keegi suremas pärandas: “Kui mu naine sünnitab poja, siis jäägu talle 2/3 pärandvarast ja ülejäänu tema naisele. Kui sünnib tütar, siis antakse 1/3 talle ja 2/3 naisele. Sündisid kaksikud – poeg ja tütar. Kuidas pärandvara jagada?

Vana-Rooma probleem (II sajand)

Leidke kolm sellist arvu, et suurim ületab keskmist väikseima antud osa võrra, keskmine ületab väikseimat suurima osa võrra ja väikseim ületab arvu 10 antud keskmise osa võrra.

Diophantose Aleksandria traktaat “Aritmeetika” (2.–3. sajand pKr)

5. Metspart lendab Lõunamerest Põhjamerre 7 päevaks. Metshane lendab põhjamerest lõunamerre 9 päeva. Nüüd lendavad part ja hani korraga välja. Mitme päeva pärast nad kohtuvad?

Hiina (2. sajand pKr)

6. “Üks kaupmees käis läbi 3 linna ja esimeses linnas kogusid nad temalt tollimakse poole ja kolmandiku tema vara eest ning teises linnas poole ja kolmandiku järelejäänud vara eest ning kolmandas linnas pool ja kolmandik tema allesjäänud varast. Ja kui ta koju jõudis, jäi tal 11 raha alles. Uurige, kui palju kaupmehel alguses raha oli.

Ananiy Shirakatsi. Kogumik "Küsimused ja vastused" (VIIsajandil pKr).

Seal on kadamba lill,

Ühe kroonlehe jaoks

Viiendik mesilastest on langenud.

Ma kasvasin lähedal

Kõik õitses Simengda,

Ja kolmas osa sobis sellele.

Leidke nende erinevus

Voldi see kolm korda kokku

Ja istutage need mesilased kutaile.

Ainult kahte ei leitud

Enda jaoks pole kuskil kohta

Kõik lendasid edasi-tagasi ja igal pool

Nautis lillede lõhna.

Nüüd räägi mulle

Mõttes arvutades,

Mitu mesilast kokku on?

Vana-India probleem (XI sajand).

8. "Leidke arv, teades, et kui lahutate sellest kolmandiku ja veerandi, saate 10."

Muhammad ibn Musa al Khwarizmi "Aritmeetika" (9. sajand)

9. Üks naine läks aeda õunu korjama. Aiast lahkumiseks pidi ta läbima nelja ukse, millest igaühel oli valvur. Naine andis pooled korjatud õuntest esimese ukse juures valvurile. Jõudnud teise valvuri juurde, andis naine talle pooled allesjäänud. Ta tegi sama ka kolmanda valvuriga ja kui ta jagas õunu neljanda valvuriga, jäi tal alles 10 õuna. Mitu õuna ta aias korjas?

"1001 ööd"

10. Ainult “see” ja “see” ning pool “sellest” ja “sellest” – mitu protsenti kolmest neljandikust “sellest” ja “sellest” saab.

Vana-Vene iidne käsikiri (X-XI sajand)

11. Kolm kasakat tulid karjakasvataja juurde hobuseid ostma.

"Olgu, ma müün teile hobused," ütles karjapoiss, "esimesele müün pool karja ja veel pool hobust, teisele pooled ülejäänud hobustest ja pool hobust teisele, kolmas saab samuti poole. ülejäänud hobustest poole hobusega.

Endale jätan ainult 5 hobust."

Kasakad olid üllatunud, kuidas karjakas jagab hobused osadeks. Kuid pärast mõningast järelemõtlemist nad rahunesid ja tehing sai teoks.

Mitu hobust müüs karjakas igale kasakale?

12. Keegi küsis õpetajalt: "Ütle mulle, mitu õpilast teil klassis on, sest ma tahan oma poja teie juurde kirjutada." Õpetaja vastas: "Kui tuleb nii palju õpilasi kui mul on ja poole vähem ja veerand ja teie poeg, siis on mul 100 õpilast." Küsimus on selles, mitu õpilast õpetajal oli?

L. F. Magnitski "Aritmeetika" (1703)

13. Rändur, olles teisele järele jõudnud, küsis temalt: "Kui kaugel see küla ees on?" Teine reisija vastas: "Kaugus külast, kust te tulete, on võrdne kolmandikuga kogu küladevahelisest vahemaast. Ja kui kõnnid veel kaks miili, oled täpselt külade vahel. Mitu miili on esimesel reisijal veel sõita?

L. F. Magnitski "Aritmeetika" (1703)

14.Taluperenaine müüs turul mune. Esimene klient ostis pooled oma munadest ja teise poole muna, teine pool ülejäänud ja veel pool muna ning kolmas viimased 10 muna.

Mitu muna talunaine turule tõi?

L. F. Magnitski "Aritmeetika" (1703)

15. Mees ja naine võtsid samast laekast raha ja enam ei jäänud midagi. Abikaasa võttis 7/10 kogu rahast ja naine 690 rubla. Kui palju kogu raha oli?

L. N. Tolstoi "Aritmeetika"

16. Üks kaheksandik numbrist

Võtke see ja lisage mis tahes

Pool kolmesajast

Ja kaheksa ületab

Mitte vähe – viiskümmend

Kolmveerand. mul on hea meel,

Kui see, kes skoori teab

Ta ütleb mulle numbri.

Johann Hemeling, matemaatikaõpetaja (1800)

17. Kolm inimest võitsid teatud summa raha. Esimene moodustas sellest summast 1/4, teine -1/7 ja kolmas - 17 floriini. Kui suur on koguvõidud?

Adam Riese (Saksamaa, 16. sajand) 18. Otsustanud kõik oma säästud kõigi poegade vahel võrdselt jagada, tegi keegi testamendi. „Minu vanim poegadest peaks saama 1000 rubla ja kaheksandiku ülejäänud osast; järgmine - 2000 rubla ja kaheksandik uuest saldost; kolmas poeg - 3000 rubla ja kaheksandik järgmisest jäägist jne. Määrake poegade arv ja pärandatud säästude suurus.

Leonhard Euler (1780)

19. Kolm inimest tahavad osta maja 24 000 liivri eest. Nad leppisid kokku, et esimene annab poole, teine kolmandiku ja kolmas ülejäänud. Kui palju raha annab kolmas?

Murrud ", " Tavaline fraktsioonid" Mäng "Millest nad saavad rääkida ... peastarvutamiseks." Ülesanded teemale " Tavaline fraktsioonid ja tegevused nende vastu" 1. U... filosoof, kirjanik. B. Pascal oli ebatavaliselt andekas ja mitmekülgne, tema elu oli...

ABSTRAKTNE

distsipliin: "matemaatika"

sellel teemal: "Ebatavalised murrud"

Esitatud:

5. klassi õpilane

Frolova Natalja

Juhendaja:

Društšenko E.A.

matemaatika õpetaja

Strezhevoy, Tomski piirkond

		Lehekülg nr.
	Sissejuhatus
I.	Harilike murdude ajaloost.
1.1	Murdude tekkimine.
1.2	Murrud Vana-Egiptuses.
1.3	Murrud Vana-Babülonis.
1.4	Murrud Vana-Roomas.
1.5	Murrud Vana-Kreekas.
1.6	Murrud vene keeles.
1.7	Murrud Vana-Hiinas.
1.8	Murrud teistes antiikseisundites ja keskajal.
II.	Harilike murdude rakendamine.
2.1	Alikvoodifraktsioonid.
2.2	Väikeste labade asemel suured.
2.3	Divisjonid rasketes oludes.
III.	Huvitavad murded.
3.1	Doominomurrud.
3.2	Sajandite sügavusest.
	Järeldus
	Bibliograafia
	Lisa 1. Looduslik mastaap.
	Lisa 2. Muistsed ülesanded harilike murdude kasutamisel.
	Lisa 3. Lõbusad ülesanded harilike murrudega.
	Lisa 4. Doominomurrud

Sissejuhatus

Sel aastal alustasime murdude õppimist. Väga ebatavalised numbrid, alustades nende ebatavalisest tähistusest ja lõpetades keerulised reeglid toimingud nendega. Kuigi esimesest tutvumisest nendega oli selge, et me ei saa isegi tavaelus ilma nendeta hakkama, kuna iga päev peame silmitsi seisma terviku osadeks jagamise probleemiga ja isegi teatud hetkel tundus mulle, et neid ei ümbritsenud enam täisarvud, vaid murdarvud. Nendega osutus maailm keerulisemaks, kuid samas huvitavamaks. Mul on mõned küsimused. Kas murrud on vajalikud? Kas need on olulised? Tahtsin teada, kust murdud meieni tulid, kes nendega töötamise reeglid välja mõtles. Ehkki sõna leiutatud pole ilmselt eriti sobiv, sest matemaatikas tuleb kõike kontrollida, kuna kõik meie elu teadused ja tööstusharud põhinevad selgetel matemaatilistel seadustel, mis kehtivad kogu maailmas. Ei saa olla nii, et meil käib murdude liitmine ühe reegli järgi, aga kuskil Inglismaal on teisiti.

Essee kallal töötades tuli mul silmitsi seista mõningate raskustega: uute terminite ja mõistetega tuli pead murda, probleeme lahendades ja antiikteadlaste pakutud lahendust analüüsides. Samuti puutusin tippimisel esimest korda kokku vajadusega trükkida murde ja murdosa avaldisi.

Minu essee eesmärk: jälgida hariliku murru mõiste kujunemislugu, näidata harilike murdude kasutamise vajadust ja olulisust praktiliste probleemide lahendamisel. Ülesanded, mille seadsin endale: essee teemal materjali kogumine ja selle süstematiseerimine, iidsete probleemide uurimine, töödeldud materjali kokkuvõtte tegemine, üldistatud materjali ettevalmistamine, ettekande koostamine, referaadi esitamine.

Minu töö koosneb kolmest peatükist. Uurisin ja töötlesin materjale 7 allikast, sealhulgas õppe-, teadus- ja entsüklopeedilist kirjandust ning veebisaiti. Olen kujundanud rakenduse, mis sisaldab valikut iidsetest allikatest pärit ülesandeid, mõningaid huvitavaid ülesandeid tavamurdudega ning koostanud ka Power Pointi redaktoris tehtud esitluse.

I. Harilike murdude ajaloost

Murdude tekkimine

Arvukad ajaloolised ja matemaatilised uuringud näitavad, et murdarvud tekkisid erinevate rahvaste seas iidsetel aegadel, varsti pärast naturaalarve. Murdude ilmumist seostatakse praktiliste vajadustega: väga levinud olid ülesanded, kus oli vaja osadeks jagada. Lisaks pidi inimene elus mitte ainult objekte loendama, vaid ka suurusi mõõtma. Inimesed kohtasid kehade pikkuste, maa-alade, mahtude ja masside mõõtmist. Sel juhul juhtus, et mõõtühik ei mahtunud mõõdetud väärtusesse täisarv korda. Näiteks lõigu pikkust sammudes mõõtes puutus inimene kokku järgmise nähtusega: pikkusesse mahtus kümme sammu ja ülejäänu oli alla ühe sammu. Seetõttu tuleks murdarvude ilmumise teiseks oluliseks põhjuseks pidada suuruste mõõtmist valitud mõõtühiku abil.

Seega tekkis murdosa mõiste kõigis tsivilisatsioonides terviku võrdseteks osadeks jagamise protsessist. Venekeelne termin "fraktsioon", nagu ka selle analoogid teistes keeltes, pärineb lati keelest. fractura, mis on omakorda tõlge araabiakeelsest terminist, millel on sama tähendus: lõhkuma, killustama. Seetõttu olid ilmselt kõikjal esimesed murrud kujul 1/n. Edasine areng liigub loomulikult selle poole, et neid murde käsitletaks ühikutena, millest saab moodustada murrud m/n – ratsionaalarvud. Seda teed ei järginud aga kõik tsivilisatsioonid: näiteks Vana-Egiptuse matemaatikas ei realiseerunud seda kunagi.

Esimene murdosa, kellele inimesed tutvustati, oli pool. Kuigi kõigi järgmiste murdude nimed on seotud nende nimetajate nimedega (kolm on "kolmas", neli on "veerand" jne), ei kehti see poole kohta – selle nimetus kõigis keeltes ei ole seotud. teha sõnaga "kaks".

Murdude registreerimise süsteem ja nendega ümberkäimise reeglid erinesid märkimisväärselt eri rahvaste ja erinevatel aegadel samade inimeste vahel. Erinevate tsivilisatsioonide vaheliste kultuurikontaktide käigus mängisid olulist rolli ka arvukad ideede laenamised.

Murrud Vana-Egiptuses

Vana-Egiptuses kasutasid nad ainult kõige lihtsamaid murde, milles lugeja on võrdne ühega (need, mida me nimetame "murrudeks"). Matemaatikud nimetavad selliseid murde alikvootideks (ladina keelest alikvoot - mitu). Kasutatakse ka nimetust alusmurrud või ühikmurrud.

suurem osa silmast 1/2 (või 32/64) kulmu 1/8 (või 8/64) pisaratilk (?) 1/32 (või ²/64) Vidin 63 / 64

Lisaks kasutasid egiptlased hieroglüüfidel põhinevaid kirjavorme Horuse silm (Wadjet). Iidseid inimesi iseloomustas Päikese ja silma kujundi läbipõimumine. Egiptuse mütoloogias mainitakse sageli jumal Horust, kes kehastab tiivulist päikest ja on üks levinumaid püha sümboleid. Võitluses Päikese vaenlastega, keda kehastab Seti kuju, saab Horus esialgu lüüa. Seth haarab temalt Silma – imelise silma – ja rebib selle puruks. Thoth - õppimise, mõistuse ja õigluse jumal - pani silma osad jälle üheks tervikuks, luues "Horuse terve silma". Lõigatud Silma osade kujutisi kasutati Vana-Egiptuses kirjalikult, et tähistada murde vahemikus 1/2 kuni 1/64.

Wadgetis sisalduva ja ühise nimetajani taandatud kuue märgi summa: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Selliseid fraktsioone kasutati jagamiseks koos teiste Egiptuse fraktsioonide vormidega hekat, Vana-Egiptuse peamine mahumõõtja. Seda kombineeritud salvestust kasutati ka teravilja, leiva ja õlle mahu mõõtmiseks. Kui pärast koguse registreerimist Horuse silma murdosana oli jääk, kirjutati see tavalisel kujul rho kordsena, mõõtühik, mis võrdub 1/320 hekatist.

Näiteks nii:

Sel juhul asetati "suu" kõigi hieroglüüfide ette.

Hekat oder: 1/2 + 1/4 + 1/32 (see tähendab 25/32 anumat otra).

Hekat oli ligikaudu 4,785 liitrit.

Egiptlased esindasid mis tahes muud murdosa alikvootmurdude summana, näiteks 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 ja nii edasi.

Kirjutati nii: /2 /16; /2 /4 /8.

Mõnel juhul tundub see piisavalt lihtne. Näiteks 2/7 = 1/7 + 1/7. Kuid teine egiptlaste reegel oli korduvate arvude puudumine murdosades. See tähendab, et 2/7 oli nende arvates 1/4 + 1/28.

Nüüd nimetatakse mitme alikvoodi murdude summat Egiptuse murdeks. Teisisõnu, igal summa murdosal on lugeja, võrdne ühega ja nimetaja, mis on naturaalarv.

Erinevate arvutuste tegemine, kõikide murdude väljendamine ühikutes, oli muidugi väga keeruline ja aeganõudev. Seetõttu hoolitsesid Egiptuse teadlased kirjatundja töö hõlbustamise eest. Nad koostasid spetsiaalsed tabelid murdude lagunemise kohta lihtsateks tabeliteks. Vana-Egiptuse matemaatilised dokumendid pole mitte teaduslikud matemaatika traktaadid, vaid praktilised õpikud elust võetud näidetega. Ülesannete hulgas, mida kirjutajakooli õpilane pidi lahendama, olid lautade mahutavuse, korvi mahu, põllu pindala, pärijate vahel vara jagamise jm arvestused. Kirjatundja pidi need näidised meeles pidama ja oskama neid kiiresti arvutustes kasutada.

Üks esimesi teadaolevaid viiteid Egiptuse murdudele on Rhindi matemaatiline papüürus. Kolm vanemat teksti, mis mainivad Egiptuse murde, on Egiptuse matemaatiline nahkrull, Moskva matemaatiline papüürus ja Akhmimi puidust tahvel.

Egiptuse matemaatika vanim monument, nn Moskva papüürus, on dokument 19. sajandist eKr. 1893. aastal omandas selle iidsete aarete koguja Goleništšev ja 1912. aastal läks see Moskva kaunite kunstide muuseumi omandusse. See sisaldas 25 erinevat probleemi.

Näiteks käsitleb see probleemi 37 jagamisel arvuga (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Seda murdosa järjestikku kahekordistades ning 37 ja tulemuse erinevust väljendades ning ühisnimetaja leidmisega sisuliselt sarnast protseduuri kasutades saadakse vastus: jagatis on 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Suurima matemaatilise dokumendi – kirjatundja Ahmesi arvutusjuhendil oleva papüüruse – leidis 1858. aastal inglise kollektsionäär Rhind. Papüürus koostati 17. sajandil eKr. Selle pikkus on 20 meetrit, laius 30 sentimeetrit. See sisaldab 84 matemaatikaülesannet, nende lahendusi ja vastuseid, mis on kirjutatud Egiptuse murdudena.

Ahmesi papüürus algab tabeliga, kus kõik vormi 2\n murrud vahemikus 2/5 kuni 2/99 on kirjutatud alikvootmurdude summadena. Egiptlased oskasid ka murde korrutada ja jagada. Kuid korrutamiseks tuli murdu murdosaga korrutada ja siis võib-olla uuesti tabelit kasutada. Jagamisega oli olukord veelgi keerulisem. Siin on näiteks, kuidas 5 jagati 21-ga:

Sageli esinev probleem Ahmesi papüürusest: „Öelge teile: jagage 10 mõõtu otra 10 inimese vahel; erinevus iga inimese ja tema naabri vahel on - 1/8 mõõdust. Keskmine osakaal on üks mõõt. 10-st lahutada üks; ülejäänud osa 9. Vahest pool tasa; see on 1/16. Võtke 9 korda. Rakenda see keskmisele löögile; lahutage 1/8 iga näo mõõtmisest, kuni jõuate lõpuni."

Veel üks probleem Ahmesi papüürusest, mis näitab alikvootfraktsioonide kasutamist: "Jagage 7 leiba 8 inimesele."
Kui lõikate iga pätsi 8 tükiks, peate tegema 49 lõiget.
Ja egiptuse keeles lahendati see probleem nii. Murd 7/8 kirjutati murdudena: 1/2 + 1/4 + 1/8. See tähendab, et igale inimesele tuleks anda pool pätsi, veerand pätsi ja kaheksandik pätsi; Seetõttu lõikasime neli pätsi pooleks, kaks pätsi 4 osaks ja ühe pätsi 8 osaks, misjärel anname igaühele osa.

Egiptuse murdosa tabelid ja erinevad Babüloonia tabelid on vanimad teadaolevad arvutusi hõlbustavad vahendid.

aastal jätkati Egiptuse fraktsioonide kasutamist Vana-Kreeka ja seejärel matemaatikud üle kogu maailma kuni keskajani, hoolimata iidsete matemaatikute kommentaaridest nende kohta. Näiteks Claudius Ptolemaios rääkis Egiptuse murdude kasutamise ebamugavusest võrreldes Babüloonia süsteemiga (positsiooninumbrite süsteem). Olulise töö Egiptuse murdude uurimisel tegi 13. sajandi matemaatik Fibonacci oma töös “Liber Abaci” - need on arvutused kümnend- ja tavaliste murdude abil, mis lõpuks asendasid Egiptuse murded. Fibonacci kasutas murdude keerulist tähistust, sealhulgas segapõhist tähistust ja murdarvude summat, ning sageli kasutati Egiptuse murde. Raamat sisaldas ka algoritme tavaliste murdude egiptuse murdude teisendamiseks.

Murrud Vana-Babülonis.

On teada, et iidses Babüloonias kasutati kuuekümnendarvu süsteemi. Teadlased põhjendavad seda asjaolu, et Babüloonia raha- ja kaaluühikud jagunesid ajalooliste tingimuste tõttu 60 võrdseks osaks: 1 talent = 60 min; 1 mina = 60 seeklit. Kuuekümnendikud olid babüloonlaste elus tavalised. Seetõttu kasutati seksagesimaalseid murde, mille nimetaja on alati 60 või selle astmed: 60 2 = 3600, 60 3 = 216 000 jne. Need on maailma esimesed süstemaatilised murded, s.o. murrud, milles nimetaja on sama arvu astmed. Selliseid murde kasutades pidid babüloonlased esindama paljusid murde ligikaudu. See on nende fraktsioonide miinus ja samal ajal eelis. Need murrud muutusid kreeka ja seejärel araabia keelt kõnelevate ja keskaegsete Euroopa teadlaste pidevaks teaduslike arvutuste tööriistaks kuni 15. sajandini, mil nad andsid teed kümnendmurdudele. Kuid kõigi rahvaste teadlased kasutasid kuni 17. sajandini astronoomias seksagesimaalseid murde, nimetades neid astronoomilisteks murdudeks.

Kuuekümnendarvu süsteem määras erinevate tabelite jaoks ette suure rolli Babüloni matemaatikas. Täielik Babüloonia korrutustabel sisaldaks korrutisi vahemikus 1x1 kuni 59x59, st 1770 numbrit, mitte 45 kui meie korrutustabel. Sellist tabelit on peaaegu võimatu pähe õppida. Isegi kirjalikul kujul oleks see väga tülikas. Seetõttu oli nii korrutamiseks kui ka jagamiseks lai valik erinevaid tabeleid. Jagamist võib Babüloonia matemaatikas nimetada "probleemiks number üks". Babüloonlased taandasid arvu m jagamise arvuga n, et korrutada arv m murdarvuga 1\ n ja neil polnud isegi mõistet "jaga". Näiteks arvutades, mida me kirjutaksime kujul x = m: n, arutlesid nad alati nii: võtke n pöördväärtus, näete 1\ n, korrutage m 1\ n-ga ja näete x. Loomulikult helistasid Babüloni elanikud meie tähtede asemel konkreetsetele numbritele. Seega mängisid Babüloonia matemaatikas kõige olulisemat rolli arvukad pöördarvude tabelid.

Lisaks koostasid babüloonlased murdarvudega arvutuste jaoks ulatuslikud tabelid, mis väljendasid põhimurde seksagesimaalsetes murdudes. Näiteks:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Murdude liitmine ja lahutamine babüloonlaste poolt toimus sarnaselt meie vastavate täisarvude ja kümnendmurdudega tehtele. positsiooniline süsteem Arvestus. Aga kuidas korrutati murd murdosaga? Mõõtegeomeetria (maamõõtmine, pindalamõõtmine) küllaltki kõrge areng viitab sellele, et babüloonlased said neist raskustest üle geomeetria abil: lineaarskaala 60-kordne muutus annab pindalaskaalas 60-60-kordse muutuse. Tuleb märkida, et Babülonis naturaalarvude välja laiendamist positiivsete ratsionaalarvude piirkonda lõpuks ei toimunud, kuna babüloonlased arvestasid ainult lõplike seksagesimaalsete murdudega, mille piirkonnas jagamine pole alati teostatav. Lisaks kasutasid babüloonlased murde 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, mille kohta olid üksikud märgid.

Kaasaegses teaduses on aja ja nurkade mõõtmisel säilinud jäljed Babüloonia seksagesimaalsest arvusüsteemist. Tunni jagamine 60 minutiks, minut 60 sekundiks, ring 360 kraadiks, kraad 60 minutiks, minuti 60 sekundiks on säilinud tänapäevani Minut tähendab ladina keeles “väike osa”, sekund tähendab "teine"

(väike osa).

Murrud Vana-Roomas.

"scrupulus" - 1/288 assa,

"semis" - pool assa,

"sekstants" on selle kuues osa,

“poolunts” - pool untsi, s.o. 1/24 eeslit jne.

Juba esimesel sajandil eKr ütles silmapaistev Rooma kõnemees ja kirjanik Cicero: "Ilma murdude tundmiseta ei saa kedagi tunnistada aritmeetikat tundvaks!"

Tüüpiline on järgmine väljavõte 1. sajandi eKr kuulsa Rooma poeedi Horatiuse teosest, mis räägib õpetaja ja õpilase vestlusest ühes tolle ajastu Rooma koolkonnas:

Õpetaja: Las Albini poeg ütleb mulle, kui palju jääb alles, kui viielt untsilt üks unts ära võetakse!

Õpilane: Üks kolmandik.

Õpetaja: Täpselt nii, sa tead hästi murde ja suudad oma vara päästa.

Murrud Vana-Kreekas.

Murrud vene keeles

Vanades juhendites on vene keeles järgmised murdude nimed:

1/2 - pool, pool

1/3 – kolmandik

1/4 – ühtlane

1/6 – pool kolmandikku

1/8 - pool

1/12 – pool kolmandikku

1/16 - pool pool

1/24 – pool ja pool kolmandikku (väike kolmandik)

1/32 – pool pool pool (väike pool)

1/5 - püatina

1/7 - nädal

1/10 on kümnis.

Venemaal kasutati veerandi või väiksemat maamõõtu -

Aastal 1703 Ilmub esimene vene trükitud matemaatikaõpik “Aritmeetika”. Autor Magnitski Leonty Fillipovich. Selle raamatu 2. osas „Murdude või murdudega arvude kohta” on üksikasjalikult kirjeldatud murdude uurimist.

Magnitsky kasutab nimelugejat, nimetajat, arvestab valede murdudega, seganumbreid, lisaks kõikidele toimingutele isoleerib kogu vale murru osa.

Aga aritmeetikat pole

Izho on kogu kostja,

Ja nendes aktsiates pole midagi,

On võimalik vastata.

Oh, palun, palun

Oskab olla osades.

Murrud Vana-Hiinas

Hiinas kehtestati 2. sajandiks peaaegu kõik aritmeetilised tehted lihtmurdudega. eKr e.; neid kirjeldatakse Vana-Hiina põhilises matemaatiliste teadmiste kogumikus – “Matemaatika üheksas raamatus”, mille viimane väljaanne kuulub Zhang Cangile. Arvutades reegli järgi, mis sarnaneb Eukleidese algoritmiga (lugeja ja nimetaja suurim ühine jagaja), vähendasid Hiina matemaatikud murde. Murdude korrutamist kujutati ristküliku pindala leidmisena maatükk, mille pikkus ja laius on väljendatud murdarvudes. Jagamist kaaluti kasutades jagamise ideed, samas kui Hiina matemaatikuid ei häbenenud asjaolu, et jagamises osalejate arv võis olla murdosa, näiteks 3⅓ inimest.

Algselt kasutasid hiinlased lihtsaid murde, mida nimetati vannihieroglüüfi abil:

keeld (“pool”) –1\2;

shao keeld ("väike pool") –1\3;

tai banh ("suur pool") –2\3.

"Jiu Zhang Xuan Shu" ("Üheksa jaotise loendamise reeglid") käsitletakse murdosa terviku osana, mida väljendatakse selle murdude n-arvus-fen - m (n< m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5.

Murdu peetakse endiselt üheks kõige keerulisemaks matemaatikavaldkonnaks. Murdude ajalugu ulatub enam kui tuhande aasta taha. Võimalus tervikut osadeks jagada tekkis Vana-Egiptuse ja Babüloni territooriumil. Aastate jooksul on murdudega tehtavad toimingud muutunud keerukamaks ja nende salvestamise vorm on muutunud. Igal neist oli oma "seos" selle matemaatika haruga.

Mis on murdosa?

Kui tekkis vajadus jagada tervik osadeks ilma lisapingutusi, siis ilmusid murrud. Murdude ajalugu on lahutamatult seotud utilitaarsete probleemide lahendamisega. Mõistel "fraktsioon" on araabia juured ja see pärineb sõnast, mis tähendab "murdma, jagama". Iidsetest aegadest on selles mõttes vähe muutunud. Tänapäevane definitsioon on järgmine: murd on ühiku osa või osade summa. Vastavalt sellele kujutavad näited murdosadega matemaatiliste toimingute järjestikust täitmist arvude murdosadega.

Tänapäeval on nende salvestamiseks kaks võimalust. tekkis sisse erinev aeg: esimesed on iidsemad.

Tuli ammusest ajast

Esimest korda hakkasid nad fraktsioonidega opereerima Egiptuses ja Babülonis. Kahe riigi matemaatikute lähenemises oli olulisi erinevusi. Algust tehti aga mõlemal puhul ühtemoodi. Esimene murd oli pool või 1/2. Siis tekkis veerand, kolmas jne. Arheoloogiliste väljakaevamiste kohaselt ulatub fraktsioonide päritolu ajalugu umbes 5 tuhande aasta taha. Esmakordselt leitakse arvu murdosasid Egiptuse papüürustest ja Babüloonia savitahvlitest.

Iidne Egiptus

Tavaliste murdude liikide hulka kuuluvad tänapäeval nn Egiptuse murded. Need esindavad mitme vormi 1/n liikme summat. Lugeja on alati üks ja nimetaja on naturaalarv. Raske on arvata, et sellised fraktsioonid ilmusid Vana-Egiptuses. Arvutamisel püüdsime kõik aktsiad selliste summade näol alla kirjutada (näiteks 1/2 + 1/4 + 1/8). Ainult murdudel 2/3 ja 3/4 olid eraldi tähised, ülejäänud olid jagatud terminiteks. Seal olid spetsiaalsed tabelid, kus arvu murded esitati summana.

Vanim teadaolev viide sellisele süsteemile on leitud Rhindi matemaatilisest papüürusest, mis pärineb teise aastatuhande algusest eKr. See sisaldab murdosa tabelit ja matemaatilisi ülesandeid koos lahenduste ja vastustega, mis on esitatud murdude summadena. Egiptlased teadsid, kuidas arvu murde liita, jagada ja korrutada. Murrud Niiluse orus kirjutati hieroglüüfide abil.

Muistsele Egiptusele iseloomulikku arvu murdosa esitamist terminite summana kujul 1/n kasutasid matemaatikud mitte ainult selles riigis. Kuni keskajani kasutati Kreekas ja teistes riikides Egiptuse fraktsioone.

Matemaatika areng Babülonis

Matemaatika nägi Babüloonia kuningriigis välja teistsugune. Murdude tekkelugu on siin otseselt seotud arvusüsteemi iseärasustega, mille antiikriik pärandas oma eelkäijalt, Sumeri-Akkadi tsivilisatsioonilt. Arvutustehnoloogia oli Babülonis mugavam ja arenenum kui Egiptuses. Matemaatika lahendas siin riigis palju laiemaid probleeme.

Babüloonlaste saavutusi tänapäeval saab hinnata säilinud kiilkirjaga täidetud savitahvlite järgi. Tänu materjali iseärasustele on neid meieni jõudnud suurtes kogustes. Mõnede arvates avastati Babülonis enne Pythagorast tuntud teoreem, mis kahtlemata annab tunnistust teaduse arengust selles iidses riigis.

Murrud: murdude ajalugu Babülonis

Numbrisüsteem Babülonis oli seksagesiaalne. Iga uus number erines eelmisest 60 võrra. See süsteem on tänapäeva maailmas säilinud aja ja nurkade näitamiseks. Murrud olid samuti seksagesimaalsed. Salvestamiseks kasutati spetsiaalseid ikoone. Nagu Egiptuses, sisaldasid ka murdudega näited 1/2, 1/3 ja 2/3 jaoks eraldi sümboleid.

Babüloonia süsteem ei kadunud koos riigiga. 60-kohalises süsteemis kirjutatud murde kasutasid iidsed ja araabia astronoomid ja matemaatikud.

Vana-Kreeka

Tavaliste murdude ajalugu oli Vana-Kreekas vähe rikastatud. Hellase elanikud uskusid, et matemaatika peaks toimima ainult täisarvudega. Seetõttu ei leitud Vana-Kreeka traktaatide lehekülgedelt praktiliselt kunagi murdosaga väljendeid. Teatava panuse sellesse matemaatika harusse andsid aga pütagoorlased. Nad mõistsid murde suhet või proportsioone ning ühikut peeti ka jagamatuks. Pythagoras ja tema õpilased koostasid üldise murdude teooria, õppisid sooritama kõiki nelja aritmeetilisi tehteid, aga ka võrdlema murde, viies need ühise nimetajani.

Püha Rooma impeerium

Rooma murdude süsteemi seostati kaalumõõduga, mida kutsuti "perse". See jagunes 12 aktsiaks. 1/12 ässast nimetati untsiks. Murdnimesid oli 18. Siin on mõned neist:

semis - pool assa;

sekstant - perse kuues osa;

seitse untsi – pool untsi ehk 1/24 perset.

Sellise süsteemi puuduseks oli võimatus esitada arvu murdena, mille nimetaja on 10 või 100. Rooma matemaatikud said raskusest üle protsentide kasutamisega.

Harilike murdude kirjutamine

Antiikajal kirjutati murde juba tuttaval viisil: üks arv teise kohal. Siiski oli üks oluline erinevus. Lugeja asus nimetaja all. Esimest korda hakkasid nad sel viisil murde kirjutama Vana-Indias. Kaasaegset meetodit kasutasid araablased. Kuid ükski nimetatud rahvas ei kasutanud lugeja ja nimetaja eraldamiseks horisontaalset joont. See ilmub esmakordselt Pisa Leonardo, paremini tuntud kui Fibonacci, kirjutistes 1202. aastal.

Hiina

Kui tavaliste murdude tekkimise ajalugu algas Egiptuses, siis kümnendkohad ilmusid esmakordselt Hiinas. Taevaimpeeriumis hakati neid kasutama umbes 3. sajandil eKr. Kümnendmurdude ajalugu sai alguse Hiina matemaatikust Liu Huist, kes tegi ettepaneku kasutada neid ruutjuurte eraldamiseks.

3. sajandil pKr hakati Hiinas kaalu ja mahu arvutamiseks kasutama kümnendmurde. Tasapisi hakkasid nad üha sügavamale matemaatikasse tungima. Euroopas hakati aga kümnendkohti kasutama palju hiljem.

Al-Kashi Samarkandist

Olenemata Hiina eelkäijatest avastas kümnendmurrud iidse Samarkandi linna astronoom al-Kashi. Ta elas ja töötas 15. sajandil. Teadlane kirjeldas oma teooriat traktaadis “Aritmeetika võti”, mis avaldati 1427. aastal. Al-Kashi tegi ettepaneku kasutada murdude kirjutamise uut vormi. Nii täis- kui ka murdosa kirjutati nüüd samale reale. Samarkandi astronoom ei kasutanud nende eraldamiseks koma. Ta kirjutas täisarvu ja murdosa erinevad värvid kasutades musta ja punast tinti. Mõnikord kasutas al-Kashi eraldamiseks ka vertikaalset joont.

Euroopas kümnendkohad

Uut tüüpi murded hakkasid Euroopa matemaatikute töödesse ilmuma 13. sajandil. Tuleb märkida, et nad ei tundnud al-Kashi teoseid ega ka hiinlaste leiutist. Jordan Nemorariuse kirjutistes ilmusid kümnendmurrud. Siis kasutas neid juba 16. sajandil prantsuse teadlane, kes kirjutas trigonomeetrilisi tabeleid sisaldava “Matemaatilise kaanoni”. Vieth kasutas neis kümnendmurde. Tervik- ja murdosa eraldamiseks kasutas teadlane vertikaalset riba, aga ka erinevat kirjasuurust.

Need olid aga vaid teadusliku kasutuse erijuhud. Kümnendmurde hakati Euroopas igapäevaprobleemide lahendamiseks kasutama mõnevõrra hiljem. See juhtus tänu Hollandi teadlasele Simon Stevinile 16. sajandi lõpus. Ta avaldas 1585. aastal matemaatilise töö "Kümnes". Selles kirjeldas teadlane kümnendmurdude kasutamise teooriat aritmeetikas rahasüsteem ning kaalude ja mõõtude määramiseks.

Punkt, punkt, koma

Stevin ei kasutanud ka koma. Ta eraldas murdosa kaks osa ringiga ümbritsetud nulli abil.

Esimest korda eraldas koma kaks kümnendmurru osa 1592. aastal. Inglismaal aga hakati kasutama hoopis punkti. Ameerika Ühendriikides kirjutatakse kümnendkohti endiselt nii.

Üheks algatajaks mõlema kirjavahemärgi kasutamisel täisarvu ja murdosa eraldamiseks oli Šoti matemaatik John Napier. Oma ettepaneku avaldas ta 1616.–1617. Saksa teadlane kasutas ka koma

Murrud vene keeles

Venemaa pinnal oli esimene matemaatik, kes selgitas terviku osadeks jagamist Novgorodi munk Kirik. Aastal 1136 kirjutas ta teose, milles kirjeldas "aastate lugemise" meetodit. Kirik tegeles kronoloogia ja kalendri küsimustega. Oma töös tõi ta välja ka tunni jagamise osadeks: viiendikuteks, kahekümneviiendikuteks jne.

Terviku osadeks jagamist kasutati maksusumma arvutamisel 15.-17.saj. Kasutati liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise tehteid murdosadega.

Sõna "fraktsioon" ilmus vene keeles 8. sajandil. See pärineb tegusõnast "lõhkuma, osadeks jagama". Meie esivanemad kasutasid murdude nimetamiseks erisõnu. Näiteks 1/2 märgiti pooleks või pooleks, 1/4 veerandiks, 1/8 pooleks, 1/16 pooleks ja nii edasi.

Täielik murdude teooria, mis ei erine palju tänapäevasest, esitati esimeses aritmeetikaõpikus, mille kirjutas 1701. aastal Leonti Filippovitš Magnitski. "Aritmeetika" koosnes mitmest osast. Murdudest räägib autor üksikasjalikult jaotises "Katkiste või murdudega numbrite kohta". Magnitski annab tehteid "katkiste" numbritega ja nende erinevate tähistustega.

Tänapäeval on murrud endiselt matemaatika kõige raskemate harude hulgas. Ka murdude ajalugu pole olnud lihtne. Erinevad rahvad, mõnikord üksteisest sõltumatult ja mõnikord oma eelkäijate kogemusi laenates, jõudsid numbrite murdude tutvustamise, valdamise ja kasutamise vajaduseni. Murdude uurimine on alati välja kasvanud praktilistest vaatlustest ja tänu pakiliste probleemidele. Oli vaja leiba jagada, võrdsed maatükid maha märkida, makse arvestada, aega mõõta jne. Murdude ja nendega tehtavate matemaatiliste tehete kasutamise eripärad sõltusid osariigis olevast arvusüsteemist ja matemaatika üldisest arengutasemest. Ühel või teisel viisil, olles ületanud enam kui tuhat aastat, on arvude murdudele pühendatud algebra osa moodustatud, arendatud ja seda kasutatakse tänapäeval edukalt mitmesuguste praktiliste ja teoreetiliste vajaduste jaoks.