Sirgete vaheline nurk. Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal. Joonte suhteline asukoht. Sirgete vaheline nurk Koostage sümmeetrilise sirge võrrand

Oi-oi-oi-oi... no see on karm, nagu loeks ta endale lauset ette =) Küll aga aitab lõõgastumine hiljem, seda enam, et täna ostsin vastavad tarvikud. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Seda siis, kui publik laulab kooris kaasa. Kaks sirgjoont võivad:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Pidage meeles matemaatilist ristmikumärki, see ilmub väga sageli. Tähistus tähendab, et sirge lõikub joonega punktis .

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas arv "lambda", mille puhul võrdsused kehtivad

Vaatleme sirgeid ja loome vastavatest koefitsientidest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage –1-ga (muuda märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid 2 võrra lõigates saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid on võrdelised: , Aga .

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on üsna ilmne, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujate jaoks EI OLE proportsionaalsed, st EI OLE sellist lambda väärtust, mida võrdsused kehtiksid

Niisiis, sirgjoonte jaoks loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab, et süsteem on ebajärjekindel (lahendusi pole). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saate kasutada äsja käsitletud lahendusskeemi. Muide, see meenutab väga vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmi, mida käsitlesime õppetunnis Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse kontseptsioon. Vektorite alused. Kuid on ka tsiviliseeritud pakend:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule siltidega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgivad edasi, otse Kashchei Surematu juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on paralleelsed või langevad kokku. Siin pole vaja determinanti kokku lugeda.

On ilmne, et tundmatute koefitsiendid on proportsionaalsed ja .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame nende vektorite koordinaatidest koosneva determinandi:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või kattuvad.

Proportsionaalsuskoefitsienti “lambda” on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Üsna pea õpite (või isegi olete juba õppinud) suuliselt arutatud probleemi mõne sekundiga sõna otseses mõttes lahendama. Sellega seoses ei näe ma mõtet iseseisva lahenduse jaoks midagi pakkuda, parem on panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Selle lihtsaima ülesande teadmatuse eest karistab röövel Ööbik karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistame tundmatut rida tähega . Mida seisund tema kohta ütleb? Sirge läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmne, et sirge “tse” suunavektor sobib ka sirge “de” konstrueerimiseks.

Võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Geomeetria näidis näeb välja lihtne:

Analüütiline testimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Enamikul juhtudel saab analüütilist testimist hõlpsasti läbi viia suuliselt. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist määravad kiiresti ilma joonisteta joonte paralleelsuse.

Tänapäeva iseseisvate lahenduste näited on loomingulised. Sest peate ikkagi võistlema Baba Yagaga ja teate, ta on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Selle lahendamiseks on ratsionaalne ja mitte nii ratsionaalne viis. Enamik otsetee- tunni lõpus.

Töötasime veidi paralleelsete joontega ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühinevate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega vaatleme probleemi, mis on teile kooli õppekavast väga tuttav:

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lineaarvõrrandisüsteemi lahendus

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Siin on kahe tundmatuga kahe lineaarse võrrandi süsteemi geomeetriline tähendus - need on kaks ristuvat (kõige sagedamini) sirget tasapinnal.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline meetod on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igas sirge võrrandis asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Sisuliselt vaatlesime graafilist viisi, kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteem kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, küsimus on selles, et õige ja TÄPNE joonis aeg läheb mööda. Lisaks ei ole mõnda sirget nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib asuda kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminikaupa liitmise meetodit. Vastavate oskuste arendamiseks külastage õppetundi Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?

Vastus:

Kontroll on triviaalne – lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesanne on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage üles sirge võrrand.
2) Kirjutage üles sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täislahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Enne tunni teise osasse jõudmist polnud isegi kingapaar kulunud:

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime sellega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand, mis on risti läbiva joonega.

Lahendus: Tingimusel on teada, et . Oleks tore leida joone suunav vektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Vastus:

Laiendame geomeetrilist visandit:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Võtame võrranditest välja suunavektorid ja kasutades vektorite skalaarkorrutist, jõuame järeldusele, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Testi on jällegi lihtne suuliselt sooritada.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja periood.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on lahendust mugav sõnastada punkt-punkti haaval.

Meie põnev teekond jätkub:

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikuda mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega “rho”, näiteks: – kaugus punktist “em” sirgjooneni “de”.

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused läbi viia:

Vastus:

Teeme joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui koostate ruudulisele paberile joonise skaalal 1 ühikut. = 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Vaatleme teist ülesannet, mis põhineb samal joonisel:

Ülesandeks on leida punktiga, mis on sirgjoone suhtes sümmeetriline, koordinaadid . Soovitan sammud ise läbi viia, kuid kirjeldan lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kasutades segmendi keskpunkti koordinaatide valemeid, leiame .

Hea oleks kontrollida, et vahemaa oleks ka 2,2 ühikut.

Siin võib arvutamisel tekkida raskusi, kuid tornis on suureks abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen teile korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide, mille saate ise otsustada. Annan teile väikese vihje: selle lahendamiseks on lõputult palju viise. Aruanne tunni lõpus, kuid parem on proovida ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi arenenud.

Iga nurk on lengiks:


Geomeetrias võetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks VÄIKSEM nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka lõikuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja tema “roheline” naaber või vastupidiselt orienteeritud"vaarika" nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on nurga "kerimise" suund põhimõtteliselt oluline. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma sulle seda ütlesin? Tundub, et saame tavalise nurga mõistega hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, võib see kergesti välja tulla negatiivne tulemus, ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel negatiivse nurga puhul märkige kindlasti noolega (päripäeva) selle suund.

Kuidas leida nurk kahe sirge vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus ja meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on määratletud võrranditega üldkujul:

Kui jooned ei ole risti, siis orienteeritud Nende vahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Kõige tähelepanelik muudame selle nimetajaks - see on täpselt joonte suunavektorite skalaarkorrutis:

Kui , siis on valemi nimetaja null ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti sõnastuses reservatsioon sirgjoonte mitteperpendikulaarsuse suhtes.

Eeltoodust lähtuvalt on mugav lahendus vormistada kahes etapis:

1) Arvutame sirgete suunavektorite skalaarkorrutise:
, mis tähendab, et jooned ei ole risti.

2) Leidke sirgjoonte vaheline nurk valemi abil:

Kasutades pöördfunktsiooni, on nurga enda leidmine lihtne. Sel juhul kasutame arktangensi veidrust (vt elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Teie vastuses märgime täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides), mis on arvutatud kalkulaatori abil.

Noh, miinus, miinus, pole suurt probleemi. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesandepüstituses on esimene number sirge ja nurga “lahti keeramine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist , ja võtke koefitsiendid esimesest võrrandist. Lühidalt, peate alustama otsesest .

Ruumisirget saab alati määratleda kahe mitteparalleelse tasandi lõikejoonena. Kui ühe tasandi võrrand on teise tasandi võrrand, siis sirge võrrand on antud

Siin mittekollineaarne
. Neid võrrandeid nimetatakse üldvõrrandid otse ruumis.

Sirge kanoonilised võrrandid

Igasugust nullist erinevat vektorit, mis asub antud sirgel või sellega paralleelselt, nimetatakse selle sirge suunavektoriks.

Kui point on teada
sirge ja selle suunavektor
, siis on sirge kanoonilised võrrandid kujul:

. (9)

Sirge parameetrilised võrrandid

Olgu antud sirge kanoonilised võrrandid

.

Siit saame sirge parameetrilised võrrandid:

(10)

Need võrrandid on kasulikud sirge ja tasandi lõikepunkti leidmiseks.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand
Ja
on kujul:

.

Sirgete vaheline nurk

Sirgete vaheline nurk

Ja

võrdne nende suunavektorite vahelise nurgaga. Seetõttu saab selle arvutada valemi (4) abil:

Tingimus paralleelsete joonte jaoks:

.

Tingimus, et tasapinnad oleksid risti:

Punkti kaugus sirgest

P oletame, et punkt on antud
ja otse

.

Sirge kanoonilistest võrranditest teame punkti
, mis kuulub sirgele, ja selle suunavektor
. Siis punkti kaugus
sirgest võrdub vektoritele ehitatud rööpküliku kõrgusega Ja
. Seega

.

Tingimus joonte ristumiskohaks

Kaks mitteparalleelset joont

,

ristuvad siis ja ainult siis

.

Sirge ja tasandi suhteline asend.

Olgu sirgjoon antud
ja lennuk. Nurk nende vahel saab leida valemiga

.

Ülesanne 73. Kirjutage sirge kanoonilised võrrandid

(11)

Lahendus. Sirge (9) kanooniliste võrrandite üleskirjutamiseks on vaja teada mistahes sirgele kuuluvat punkti ja sirge suunavektorit.

Leiame vektori , paralleelselt selle joonega. Kuna see peab olema risti nende tasandite normaalvektoritega, st.

,
, See

.

Sirge üldvõrranditest saame selle
,
. Siis

.

Alates punktist
mis tahes punkti sirgel, siis peavad selle koordinaadid vastama sirge võrranditele ja ühe neist saab määrata näiteks
, leiame süsteemist (11) kaks ülejäänud koordinaati:

Siit,
.

Seega on soovitud rea kanoonilistel võrranditel vorm:

või
.

Ülesanne 74.

Ja
.

Lahendus. Esimese rea kanoonilistest võrranditest on teada punkti koordinaadid
joonele kuuluv ja suunavektori koordinaadid
. Teise sirge kanoonilistest võrranditest on teada ka punkti koordinaadid
ja suunavektori koordinaadid
.

Paralleelsete sirgete vaheline kaugus on võrdne punkti kaugusega
teisest sirgjoonest. See vahemaa arvutatakse valemiga

.

Leiame vektori koordinaadid
.

Arvutame vektorkorrutise
:

.

Ülesanne 75. Leia punkt sümmeetriline punkt
suhteliselt sirged

.

Lahendus. Kirjutame üles antud sirgega risti oleva ja punkti läbiva tasapinna võrrand . Selle tavavektorina võite võtta sirge suuna vektori. Siis
. Seega

Leiame punkti
selle sirge ja tasapinna lõikepunkt P. Selleks kirjutame võrrandite (10) abil üles sirge parameetrilised võrrandid, saame

Seega
.

Lase
punkt sümmeetriline punktiga
selle joone suhtes. Siis punkt
keskpunkt
. Punkti koordinaatide leidmiseks Lõigu keskpunkti koordinaatide jaoks kasutame valemeid:

,
,
.

Niisiis,
.

Ülesanne 76. Kirjutage sirget läbiva tasandi võrrand
Ja

a) läbi punkti
;

b) tasapinnaga risti.

Lahendus. Kirjutame üles selle sirge üldvõrrandid. Selleks kaaluge kahte võrdsust:

See tähendab, et soovitud tasapind kuulub generaatoritega tasandite kimpu ja selle võrrandi saab kirjutada kujul (8):

a) Leiame
Ja tingimusest, et lennuk läbib punkti
Seetõttu peavad selle koordinaadid vastama tasandi võrrandile. Asendame punkti koordinaadid
tasandite hulga võrrandisse:

Leitud väärtus
Asendame selle võrrandiga (12). saame soovitud tasandi võrrandi:

b) Leiame
Ja tingimusest, et soovitud tasapind on tasapinnaga risti. Antud tasandi normaalvektor
, soovitud tasandi normaalvektor (vt tasandite hulga võrrandit (12).

Kaks vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nende punktkorrutis on null. Seega

Asendame leitud väärtuse
tasandite kimbu võrrandisse (12). Saame soovitud tasandi võrrandi:

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

Ülesanne 77. Viige joonte võrrand kanoonilisele kujule:

1)
2)

Ülesanne 78. Kirjutage sirge parameetrilised võrrandid
, Kui:

1)
,
; 2)
,
.

Ülesanne 79. Kirjutage punkti läbiva tasandi võrrand
risti sirgjoonega

Ülesanne 80. Kirjutage punkti läbiva sirge võrrandid
tasapinnaga risti.

Ülesanne 81. Leia nurk joonte vahel:

1)
Ja
;

2)
Ja

Ülesanne 82. Tõesta sirgete paralleelsus:

Ja
.

Ülesanne 83. Tõesta sirgete perpendikulaarsus:

Ja

Ülesanne 84. Arvuta punkti kaugus
sirgjoonelt:

1)
; 2)
.

Ülesanne 85. Arvuta paralleelsete sirgete vaheline kaugus:

Ja
.

Ülesanne 86. Sirge võrrandites
määrake parameeter nii et see sirge lõikub sirgega ja leidke nende lõikepunkt.

Probleem 87. Näidake, et see on sirge
paralleelselt tasapinnaga
, ja sirgjoon
asub sellel tasapinnal.

Probleem 88. Leidke punkt sümmeetriline punkt lennuki suhtes
, Kui:

1)
, ;

2)
, ;.

Ülesanne 89. Kirjutage punktist langenud risti võrrand
otse
.

Probleem 90. Leidke punkt sümmeetriline punkt
suhteliselt sirged
.

2020. aasta juulis käivitab NASA ekspeditsiooni Marsile. Kosmoselaevad toimetab Marsile elektroonilise andmekandja kõigi registreeritud ekspeditsioonil osalejate nimedega.

Kui see postitus lahendas teie probleemi või teile see lihtsalt meeldis, jagage selle linki oma sõpradega sotsiaalvõrgustikes.

Üks neist koodivalikutest tuleb kopeerida ja kleepida oma veebilehe koodi, eelistatavalt siltide vahele ja või kohe pärast märgendit. Esimese variandi järgi laadib MathJax kiiremini ja aeglustab lehte vähem. Kuid teine ​​valik jälgib ja laadib automaatselt MathJaxi uusimad versioonid. Kui sisestate esimese koodi, tuleb seda perioodiliselt värskendada. Kui sisestate teise koodi, laaditakse lehed aeglasemalt, kuid te ei pea pidevalt MathJaxi värskendusi jälgima.

Lihtsaim viis MathJaxi ühendamiseks on Bloggeris või WordPressis: lisage saidi juhtpaneelile vidin, mis on mõeldud kolmanda osapoole JavaScripti koodi sisestamiseks, kopeerige sellesse ülaltoodud allalaadimiskoodi esimene või teine ​​versioon ja asetage vidin lähemale. malli algusesse (muide, see pole üldse vajalik, kuna MathJaxi skript laaditakse asünkroonselt). See on kõik. Nüüd õppige MathML-i, LaTeX-i ja ASCIIMathML-i märgistussüntaksit ning olete valmis oma saidi veebilehtedele matemaatilisi valemeid sisestama.

Järjekordne aastavahetus... pakaseline ilm ja lumehelbed aknaklaasil... See kõik ajendas mind uuesti kirjutama... fraktalidest ja sellest, mida Wolfram Alpha sellest teab. Sellel teemal on huvitav artikkel, mis sisaldab näiteid kahemõõtmeliste fraktaalstruktuuride kohta. Siin vaatame lähemalt keerulised näited kolmemõõtmelised fraktaalid.

Fraktaali saab visuaalselt kujutada (kirjeldada) geomeetrilise kujundi või kehana (see tähendab, et mõlemad on hulk, antud juhul punktide kogum), mille detailid on sama kujuga kui algkujund ise. See tähendab, et tegemist on isesarnase struktuuriga, mille detaile uurides näeme suurendatuna sama kuju kui ilma suurenduseta. Kui tavalise geomeetrilise kujundi (mitte fraktaali) puhul näeme suurendamisel detaile, mis on lihtsama kujuga kui algkuju ise. Näiteks piisavalt suure suurenduse korral näeb osa ellipsist välja sirgjoonelise lõiguna. Fraktalidega seda ei juhtu: nende arvu suurenemisega näeme jälle sama keeruline kuju, mida korratakse iga tõstmisega ikka ja jälle.

Fraktaaliteaduse rajaja Benoit Mandelbrot kirjutas oma artiklis Fraktaalid ja kunst teaduse nimel: "Fraktalid on geomeetrilised kujundid, mis on oma detailides sama keerulised kui ka üldisel kujul. See tähendab, et kui osa fraktaalist Suurendatakse terviku suuruseni, siis näeb see välja tervikuna, kas täpselt või võib-olla väikese deformatsiooniga."